Понятие и характеристика денежного потока

$1000 $1000 $1000 $1000

Элемент денежного потока принято обозначать CF k (Cash Flow), где k - номер периода, в который рассматривается денежный поток. Настоящее значение денежного потока обозначено PV (Present Value), а будущее значение - FV (Future Value).

Будущее значение денежного потока, для всех элементов от 0 до m получим:

Пример 1 : После внедрения мероприятия по снижению административных издержек предприятие планирует получить экономию $1 000 в конце каждого года. Сэкономленные деньги предполагается размещать на депозитный счет (под 5 % годовых) с тем, чтобы через 5 лет накопленные деньги использовать для инвестирования. Какая сумма окажется на банковском счету предприятия?

Таким образом, предприятие через 5 лет накопит $5 526, которое сможет инвестировать.

Таким образом, денежные потоки – это потоки платежей (наличности) под которым понимается распределение во времени, движения денежных средств, возникающих в результате хозяйственной деятельности субъекта.

Кроме того, под денежными потоками понимается распределенная во времени последовательность выплат и поступлений генерируемая тем или иным активом, портфелем активов или операцией инвестиционного проекта.

С каждым инвестиционным проектом принято связывать денежный поток (Cash Flow), элементы которого представляют собой либо чистые оттоки (Net Cash Outflow), либо чистые притоки денежных средств (Net Cash Inflow).

Под чистым оттоком в k-м году понимается превышение текущих денежных расходов по проекту над текущими денежными поступлениями (при обратном соотношении имеет место чистый приток).

Поток платежей, все элементы которого распределены во времени так, что интервалы между любыми двумя последовательными платежами постоянны, называют финансовой рентой или аннуитетом (annuity).

Аннуитет обладает двумя важными свойствами:

1) все его n-элементов равны между собой: CF1 = CF2 ...= CFn = CF ;

2) отрезки времени между выплатой (получением сумм) CF одинаковы.

Будущая стоимость простого аннуитета представляет собой сумму всех составляющих его платежей с начисленными процентами на конец срока проведения операции.

Под текущей стоимостью денежного потока понимают сумму всех составляющих его платежей, дисконтированных на момент начала операции.

Текущая стоимость аннуитета имеет следующий вид:

Выражение в квадратных скобках представляет собой множитель, равный современной стоимости аннуитета одной денежной единицы.

Разделив современную стоимость PV денежного потока на указанный множитель можно получить сумму периодического платежа эквивалентного ему аннуитета.

Схема дисконтирования простого аннуитета.

Пример 2 :

Пенсионный фонд должен осуществить ежегодные выплаты по 100 денежных единиц в течении трех лет. Какая сумма обеспечит указанные выплаты, если ставка по срочным депозитам в настоящее время 8% годовых.

0 100 100 100

Общая сумма 257,7.

Оценка потока пренумерандо

Аннуитет пренумерандо – англ. Annuity Due, представляет собой серию платежей, которые периодически осуществляются в начале каждого периода (например, месяц, квартал, полугодие или год). Этот тип инструмента может представлять из себя инвестицию или кредит, в зависимости от цели и владельца аннуитета. Примером аннуитета могут служить сберегательные счета, страховые полисы, ипотека и другие подобные инвестиции. Ключевой особенностью аннуитета пренумерандо является то, что все платежи осуществляются в начале каждого периода.

Схема наращения элементов денежного потока пренумерандо

где A – размер платежа;

i – процентная ставка за период;

N – количество периодов.

Например, инвестор намеревается ежемесячно размещать на депозит по 500 у.е. в течение 2-ух лет под 7% годовых при условии, что каждый взнос будет осуществляться в начале каждого месяца. Чтобы рассчитать сумму, которая будет в распоряжении инвестора воспользуемся приведенной выше формулой. Однако прежде необходимо привести годовую процентную ставку к месячной, которая составит 0,583% (7%/12). При этом количество периодов составит 24 (24 месяца).

Таким образом в распоряжении инвестора через два года окажется сумма в размере 12914,87 у.е.

Для обратной задачи схема дисконтирования, т. е. приведения всех элементов исходного потока в точку 0, может быть представлена на рис.

Схема дисконтирования элементов денежного потока пренумерандо

Для расчета настоящей стоимости аннуитета пренумерандо необходимо использовать следующую формулу.

Эта формула, например, может быть использована для расчета размера аннуитетного платежа по кредиту. Допустим, заемщик намеревается взять кредит в банке на сумму 25000 у.е. сроком на 5 лет под 17% годовых при условии, что кредит будет погашаться ежемесячно. Чтобы рассчитать размер платежа необходимо воспользоваться формулой настоящей стоимости аннуитета пренумерандо, выразив из нее платеж (A).

Чтобы использовать полученную формулу для расчета аннуитетного платежа необходимо привести в соответствие исходные данные.

1) Настоящая стоимость аннуитета составит 25000 у.е.

2) Годовую процентную ставку необходимо привести к месячной, которая составит 1,4167% (17%/12).

3) Количество периодов составит 60 (5 лет по 12 платежей.)

Таким образом, размер ежемесячного аннуитетного платежа по кредиту составит 621,31 у.е.

В современном мире, где банковские продукты входят в жизнь любого человека, понимание сути финансовой математики и умение делать простые финансовые вычисления становится необходимым навыком. Но многие учебники и статьи по этой теме написаны сложным языком финансовых терминов и математических формул. Без терминов и формул, конечно, не обойтись. Однако объяснить суть вычислений можно простым языком, понятным любому человеку. Эта статья — продолжение статьи о дисконтировании денежных потоков. В ней речь пойдет об аннуитете (аннуитетных денежных потоках). Вечная рента, формула аннуитета — расчет текущей и будущей стоимости на простых примерах , объяснения для людей, а не для банкиров – об этом вы узнаете, прочитав данную статью.

Что такое аннуитет?

Услышав слово аннуитет, многие подумают о чем-то сверхсложном и недоступном для понимания. На самом деле всё просто, только слово иностранное.

Аннуитет – это серия одинаковых платежей через одинаковые промежутки времени. Этот термин представляет собой буквенный «перевод» английского слова annuity , что означает «fixed sum paid every year». Люди, владеющие английским языком, вспомнят еще слово «annual», которое в переводе означает «годовой». Оба этих слова происходят от латинского слова annuus – ежегодно. Таким образом, в самом слове аннуитет содержится указание на ежегодную периодичность платежей.

На временной линии (или шкале времени) аннуитетные денежные потоки можно изобразить, например, вот так (Рис. 1):
В настоящее же время аннуитетом называются не только серии одинаковых годовых платежей, но и любые последовательности одинаковых по сумме платежей вне зависимости от их периодичности. Это могут быть ежегодные, ежеквартальные, ежемесячные платежи. Главным остаётся одно: аннуитет – это несколько одинаковых платежей (денежных потоков) через одинаковые промежутки времени. Например, зарплата. Если ваша зарплата постоянна в течение года, то ежемесячный приток денежных средств в виде зарплаты является аннуитетом с ежемесячным периодом выплаты. Другой пример: если вы покупаете какую-то вещь в рассрочку, то ваши ежемесячные платежи банку тоже будут аннуитетом.

Пренумерандо и постнумерандо

Еще немного терминов. Аннуитеты бывают пренумерандо и постнумерандо. Это красивые и загадочные термины обозначают всего лишь момент платежа: пренумерандо означает платежи в начале каждого временного периода, постнумерандо — в конце его. Эти термины, пришедшие к нам, судя по всему из латыни, используются в учебниках или в официальных бумагах. Я же буду говорить по-русски: денежные потоки с выплатой в конце года или в начале года.

В данной статье рассматриваются примеры расчета простых аннуитетов, в которых период платежа и период начисления процентов равны друг другу. То есть если проценты начисляются, например, за год, то и выплаты будут ежегодными. Или проценты начисляются ежемесячно, и платежи тоже осуществляются ежемесячно. Существуют аннуитеты, в которых эти периоды не совпадают (периоды выплат и периоды начисления процентов), но это более сложные вычисления. Я не буду их затрагивать. Всем, кто хочет разобрать эту тему досконально, лучше обращаться к учебникам по финансовой математике.

Дисконтирование и наращение

Для начала вспомним о том, что такое дисконтирование и наращение. Более подробно об этом рассказано в предыдущей статье. В ней речь шла о дисконтировании и наращении единичного денежного потока, то есть одной денежной суммы. Продисконтировать – это значит рассчитать текущую стоимость будущего денежного потока. То есть, если вам надо накопить определенную сумму к какой-то дате в будущем, то, применив дисконтирование, вы сможете рассчитать, сколько надо положить в банк сегодня.

Наращение – это движение из сегодняшнего дня в завтрашний: расчет будущей стоимости тех денег, которые у вас есть сегодня. Если вы положите деньги на банковский счет, то, зная банковскую ставку, вы сможете рассчитать, сколько денег у вас накопится на счете в любой момент времени в будущем.

Наращение и дисконтирование, конечно, неприменимы, если вы храните деньги дома. Все эти расчеты справедливы только тогда, когда вы можете инвестировать ваши деньги: положить на банковский счет или купить долговые ценные бумаги.

Дисконтирование и наращение применяются не только к одному денежному потоку, но и к последовательности денежных потоков, при этом денежные суммы могут быть любыми по величине. Частным случаем таких множественных денежных потоков и являются аннуитеты .

Формула аннуитета

Аннуитетные денежные потоки тоже можно дисконтировать и наращивать, то есть определять их текущую и будущую стоимости.

Например, это необходимо, когда нам нужно выбрать между двумя предлагаемых нам вариантами получения денег. Не зная основных положений финансовой математики, можно прогадать и выбрать заведомо невыгодный для себя вариант. Чем и пользуются более осведомленные участники финансового рынка, а именно банки.

Расчет аннуитета — дисконтирование

ПРИМЕР 1. Возьмем абстрактный пример. Допустим, вам надо выбрать, что лучше:

• (А) получить 100,000 долларов сегодня или
• (Б) 5 раз по 25,000 долларов в конце каждого из следующих 5 лет.

В сумме 5 * 25,000 = 125,000, что вроде бы лучше, чем 100,000 долларов. Но так ли это? Ведь у денег есть еще и «временная» стоимость. Банковская ставка в данный момент в данной стране, допустим, равна 10%.

Вариант (Б) представляет собой простой вариант аннуитета. Только не все знают, что это именно так называется. Чтобы сравнить эти два варианта между собой (что выгоднее?), надо привести их к одному моменту времени, поскольку стоимость денег в разные моменты времени различна. В данном случае надо продисконтировать аннутитетный денежный поток (Б), т.е. рассчитать его сегодняшнюю стоимость. Если дисконтированная стоимость аннуитета будет больше, чем 100,000 долларов, значит, второй вариант выгоднее при данной ставке процента.

В предыдущей статье мы научились дисконтировать одиночную сумму. Те же вычисления можно сделать и в этот раз, только придется повторить их 5 раз.

На данной шкале времени кроме платежа в сумме 25,000 нанесены соответствующие каждому периоду коэффициенты дисконтирования. приведена в предыдущей статье про дисконтирование.

Если продисконтировать (то есть привести к текущему моменту) каждую сумму отдельно, то получится вот такая табличка:

• 25,000*0,9091 = 22,727
• 25,000*0,8264 = 20,661
• 25,000*0,7513 = 18,783
• 25,000*0,6830 = 17,075
• 25,000*0,6209 = 15,523
• Итого: 94,770

Здесь сумма платежа умножена на соответствующий каждому году коэффициент дисконтирования. В целом пять платежей по 25,000 в конце каждого года с учетом дисконтирования стоят 94,770, что несколько меньше, чем 100,000 сегодня. Следовательно, 100,000 сегодня при ставке 10% будет выгоднее, чем предложенный аннуитет 5 лет по 25,000.

Этот пример важен не только, чтобы еще раз продемонстрировать временную стоимость денег. Из таблицы становится ясно, как можно упростить вычисление дисконтированной стоимости аннуитета. Вместо того чтобы дисконтировать каждую сумму отдельно, можно сложить все коэффициенты дисконтирования и умножить только один раз:

25,000*(0,9091+0,8264+0,7513+0,6830+0,6209) что аналогично 25,000*3,7908 =94,770

Из этого примера легко вывести математическую формулу расчета дисконтированной стоимости аннуитета.

Сначала вспомним, как выглядит формула дисконтирования:

PV = FV*1/(1+R) n

Коэффициент дисконтирования равен 1/(1+R) n - это 0,9091, 0,8264 и т.д. в нашем примере.

Формула аннуитета (для расчета дисконтированной стоимости аннуитетных денежных потоков)

PV = FV*

Выражение в квадратных скобках можно представить математически, но вряд ли это нужно большинству людей. Это называется коэффициент аннуитета, или аннуитетный коэффициент дисконтирования, точное название не столь важно. В примере выше этот коэффициент равен 3,7908 .

Гораздо полезнее уметь пользоваться таблицами таких коэффициентов для расчета приведенной (дисконтированной) стоимости аннуитетного денежного потока. Такие таблицы позволяют быстро решать простые задачи на дисконтирование аннуитетов. Пример такой таблицы дисконтирования приведен ниже:

Если кому-то нужна точная формула аннуитета , точнее формула коэффициента дисконтирования аннуитета, то вот она:

Коэффициент дисконтирования аннуитета: 1/R — 1/(R*(1+R) n)

Дисконтированная стоимость аннуитета: PV= платеж умножить на коэффициент

Расчет аннуитета — наращение

В примере выше мы считали дисконтированную стоимость денежного потока. То есть приводили стоимость денежного потока к текущему моменту времени. Можно решать и обратную задачу – узнать будущую стоимость аннуитета (аннуитетного денежного потока).

ПРИМЕР 2. В нашем первом примере мы можем посчитать будущую стоимость обоих вариантов. Если перевести из области чистой математики в жизненную плоскость, то надо выбрать, что лучше:

• (А) положить сегодня 100,000 долларов в банк под 10% годовых или
• (Б) в конце каждого года делать взносы в сумме 25,000.

Для первого варианта можно воспользоваться (она есть в предыдущей статье).

Для варианта (А) будущая стоимость считается просто: $100,000 через 5 лет будут равны 100,000*1,6105 = $161,050

Для варианта (Б) ситуация несколько сложнее.
Мы хотим узнать, сколько будет у нас на счете через 5 лет, если мы будем откладывать 25,000 в конце каждого года. То есть мы сделаем последний взнос и сразу же посчитаем, сколько мы накопили. Чтобы не ошибиться, лучше подписать коэффициенты наращения, соответствующие каждому году, на шкалу времени. Первый платеж будет сделан в конце первого года, это значит, что через 5 лет по нему будут наращены проценты только за 4 года. Соответственно, по второму платежу мы получим проценты за 3 года, по третьему – за два года, по четвертому – за один год, и, наконец, положив деньги в пятый раз, проценты по последнему взносу еще нее возникнут (то есть надо будет умножить на 1,10 в нулевой степени!)

25,000*(1,1) 4 +25,000*(1,1) 3 + 25,000*(1,10) 2 + 25,000*(1,10) 1 + 25,000 (1,10) 0 что равно

25,000*1,4641 + 25,000*1,3310 +25,000*1,2100 +25,000*1,1000 + 25,000*1 = 25,000*6,1051 = 152,628

Будущая стоимость аннуитета (вариант Б) равняется $152,628, что существенно меньше, чем $161,050 (вариант А). Это означает, что выгоднее внести на банковский счет 100,000 долларов сегодня, чем делать взносы 25,000 в конце каждого из 5 следующих лет. Данный вывод справедлив для банковской ставки 10% годовых.

Для расчета будущей стоимости аннуитетных денежных потоков тоже имеются таблицы коэффициентов. В данном случае этой таблицей можно пользоваться для расчета аннуитетов с платежами в конце временного интервала (т.е. постнумерандо).

Для любителей математики формула аннуитета для расчета его будущей стоимости выглядит так:

Коэффициент наращения аннуитета: FV = платеж умножить на коэффициент ,

где коэффициент равен: [(1+R) n – 1]/R

Это был аннуитет с платежами в конце каждого года (постнумерандо ).

ПРИМЕР 3. Можно рассмотреть и другой пример. Сколько мы накопим на счете в банке, если будем вносить по 25,000 в начале каждого года, а не в конце? Это будет так называемый аннуитет пренумерандо, назовем его вариант В. Этот денежный поток можно изобразить на шкале времени таким образом:

Как видно из рисунка, платежи по 25,000 делаются в начале каждого годового периода. Например, вы решили класть на счет в банке по 25,000 каждый год 1 января. Первый платеж принесет нам проценты за 5 лет, второй — за 4 года, третий — за 3 года, четвертый — за 2 год и, наконец, платеж, сделанный в начале пятого года, принесет нам проценты за один год. я взяла из соответствующей таблицы, которую можно открыть по ссылке.

25,000*1,6105+25,000*1,4641 +25,000*1,3310 + 25,000*1,2100 + 25,000*1,1000 = 25,000* (1,6105+1,4641+1,3310+1,2100+1,1000) = 25,000*6,7156 = 167,890

Таким образом, если начинать вносить 25,000 каждый год в начале годового периода и делать это в течение 5 лет, то через 5 лет сумма на счете будет равна $167,890 . Этот вариант В выгодней, чем варианты А и Б, которые были рассмотрены раньше.

• Вариант А — $100,000, внесенные сегодня, накопят на банковском счете через 5 лет только 161,050
• Вариант Б — $25,000, внесенные на счет в конце каждого из 5 последующих лет, накопят через 5 лет только $152,628

Как видно из двух последних примеров, большое значение имеет момент, когда производятся платежи: в начале или в конце периода. Поэтому, если нужно рассчитать дисконтированную или будущую стоимость любых денежных потоков, желательно рисовать , на которой отметить суммы и коэффициенты, соответствующие каждому периоду.

Как эти расчеты могут пригодиться в жизни?

В примерах выше были разобраны абстрактные примеры аннуитетов. Но с аннуитетными денежными потоками мы встречаемся и в реальной жизни. Например, интересно будет рассчитать, сколько удастся накопить на сберегательном счете, если откладывать каждый месяц часть зарплаты. Подобным же образом можно будет рассчитать, скажем, дисконтированную стоимость всех платежей по автокредиту. Выплаты банку при покупке автомобиля (и не только автомобиля) в кредит представляют собой аннуитет. Его дисконтированная (приведенная к сегодняшнему дню) стоимость — это и будет стоимость приобретаемого автомобиля. Можно точно узнать, сколько вы переплачиваете при покупке машины в кредит в сравнении с вариантом покупки с уплатой полной суммы сразу. А также можно будет сравнить кредитные предложения разных банков. Единственная проблема в таких расчетах – выбрать правильную месячную ставку дисконтирования.

Вечная рента

Вечная рента — это аннуитет, платежи которого продолжаются в течение неограниченного срока. Другими словами – это серия одинаковых платежей, которая продолжается вечно. Такой вариант возможен, если, например, у вас есть вклад в банке, вы снимаете только ежегодные проценты, а основная сумма вклада остается нетронутой. Тогда, если ставка процента по вкладу не меняется, у вас будет так называемая .

В викторианскую эпоху все английские аристократы жили на проценты со своего капитала. Чем больший капитал лежал в банке, тем большие средства можно было потратить на жизнь и при этом не работать. Капитал переходил по наследству, и теоретически (если бы не было банкротств банков, войн и инфляции) так могло бы продолжаться вечно.

Будущая стоимость вечной ренты не имеет смысла, так как платежи продолжаются неограниченно долго. Однако текущая стоимость вечной ренты является конечной суммой, которую можно вычислить по формуле:

PV = платеж/R,

где R – это банковская ставка %, PV — текущая стоимость

Например, если хочется снимать со счета проценты в сумме 500,000 рублей в год, а годовая банковская ставка составляет 8%, то это значит, что сумма вклада на банковском счете должна быть равна:

500,000/0,08 = 6,250,000 рублей (PV).

В этом случае (если у банка не отберут лицензию или банк не обанкротится сам) можно снимать такие проценты постоянно на протяжении неограниченного периода времени. Единственное, что может нарушить такую идиллическую картину, — это инфляция, благодаря которой деньги обецениваются. Поэтому с течением времени снимаемые проценты будут приносить всё меньше материальных благ.

Философское отступление для тех, кто дочитал до этого места.

Чтобы рента была вечной, нужно сохранять капитал, с которого мы получаем эту ренту. Этот закон действует не только в финансовом мире. Человечество живет за счет природной ренты – оно пользуется ресурсами планеты, которые, к сожалению, исчерпаемы. Если брать от природы слишком много, природная рента иссякнет. Истощение земных ресурсов происходит на наших глазах.

При традиционном рыболовстве рыбу ловили понемногу, но это могло продолжаться вечно. Индустриальные города требуют рыбу определенного сорта и качества, для вылова которой применяется промышленный рыболовный флот. Крупные суда гонятся лишь за прибылью и не уважают океан. В настоящее время 80% мест промысловых районов Европы истощены. По расчетам ученых к 2050 году промышленное рыболовство сойдет на нет. Рыбная «рента» исчерпает себя. Много ли других ресурсов останется у человечества через 35-50 лет?

«Мир достаточно велик, чтобы удовлетворить нужды любого человека, но слишком мал, чтобы удовлетворить человеческую жадность» Махатма Ганди

Планета Земля – это наш единственный дом. Думаем ли мы об этом?

Рассчитать свой потенциальный доход по вкладу можно самостоятельно, не полагаясь на калькуляторы дохода, которые размещены на сайтах банковских учреждений. В этой статье на конкретных примерах показано, как рассчитать доход по вкладу с капитализацией процентов (ежеквартальной, ежемесячной, ежедневной, непрерывной) и как рассчитать эффективную ставку по вкладам с капитализацией.

Тема 4. Постоянные финансовые ренты

4.1. Характеристики потоков платежей

4.1.1. Основные понятия

Операции с отдельными денежными суммами лежат в основе более сложных операций — операций с последовательностями таких сумм, распределенных во времени, т. е. с потоками платежей.

Потоком платежей называется последовательность денежных сумм, приуроченных к определенным моментам времени. Отдельные денежные суммы, являющиеся членами последовательности, называются членами потока .

Потоки возникают, например, при реализации инвестиционного проекта, при погашении задолженности в рассрочку, при получении доходов по акциям или другим ценным бумагам, при выплате пенсий и т. д.

Потоки платежей классифицируются на регулярные и нерегулярные. Варианты потоков графически представлены на рис. 4.1-4.3.

В нерегулярном потоке временные интервалы между членами потока могут иметь различную продолжительность. Кроме того, члены такого потока могут иметь различные знаки. Положительные члены обычно соответствуют поступлениям денежных сумм, отрицательные — затратам.

В регулярном потоке промежутки времени между соседними выплатами имеют одинаковую длину и члены потока имеют один знак. Регулярные потоки называются также финансовыми рентами .

Рис. 4.1. Нерегулярный поток платежей

Рис. 4.2. Регулярный поток платежей (случай постоянной финансовой ренты)

Рис. 4.3. Регулярный поток платежей (случай переменной финансовой ренты)

Отметим, что члены финансовой ренты в общем случае могут различаться по своей величине. Если они одинаковы, то говорят о постоянной финансовой ренте. Если различаются, — то о переменной финансовой ренте. Эти различия могут подчиняться какой-нибудь закономерности (например, ренты с постоянным абсолютным или относительным приростом членов) или быть несистематическими.

К основным параметрам, характеризующим ренту, относятся:

• член ренты — размер отдельного платежа;
• период ренты — длина интервала времени между соседними платежами;
• срок ренты — длина промежутка времени от начала первого периода до конца последнего периода;
• процентная ставка — та величина процентной ставки, на основе которой проводится анализ ренты.

При анализе конкретных рент используются и другие характеристики и параметры, например периодичность начисления процентов (при начислении несколько раз в году), вероятность выплаты (если речь идет о страховых платежах) и др.

Ренты могут иметь заранее оговоренный срок или не иметь такого срока. В последнем случае говорят о вечной ренте .

Ренты различаются по моменту выплат в пределах периода. Если платежи приурочены к концу периодов, то рента называется рентой постнумерандо (а также обыкновенной рентой ). Если же платежи приурочены к началу периодов, то рента называется рентой пренумерандо .

4.1.2. Обобщающие характеристики потоков платежей

Два финансовых потока могут быть по-разному распределены во времени, иметь различную продолжительность, различное число членов, различаться величиной членов.

Их сопоставление, анализ, выбор варианта потока проводится на основе обобщающих характеристик, позволяющих свести все разнообразие потоков к небольшому числу базовых показателей.

К основной характеристике потока относится его приведенная стоимость (приведенная оценка). Она позволяет «свернуть» весь распределенный во времени поток в одно число.

Под приведенной стоимостью понимается сумма всех членов потока с начисленными процентами, приведенная (дисконтированная) к какому-то заданному моменту времени. Обычно в качестве такого момента времени выбирают момент начала первого периода потока или момент окончания его последнего периода. В первом случае говорят о современной стоимости (современной оценке ) потока, во втором — о наращенной стоимости (наращенной сумме ) потока.

Иногда современную оценку потока привязывают не к его началу, а к некоторому более раннему моменту времени. Например, если сегодня анализируются потоки по вариантам инвестиционных проектов, реализация которых должна начаться через некоторое время, то современную оценку привязывают обычно не к началу потоков (у разных вариантов может быть разный начальный момент), а к сегодняшнему дню.

4.1.3. Расчет приведенной стоимости потока

Сформулируем определение приведенной стоимости потока в общем случае.

Пусть поток состоит из членов Rk , приуроченных к моментам времени tk . Определим стоимость этого потока, приведенную к произвольному моменту времени t.

Рассмотрим произвольный член потока Rk . Если соответствующий ему момент времени tk наступает раньше момента приведения t,

tk < t,

то при пересчете оценки величины Rk на момент t ее следует увеличить, умножив на коэффициент роста, равный . Этот коэффициент показывает, во сколько раз изменится величина Rk по сложной процентной ставке i за время (t — tk ), отделяющее момент tk от момента t.

Другими словами, если бы денежную сумму Rk положить на депозитный счет с условиями начисления сложных процентов по ставке i, то за время (t — tk ) величина Rk выросла бы до величины Rk . Показатель степени положительный, так что коэффициент больше 1, величина Rk при умножении увеличивается.

Если же момент времени tk наступает позже момента t,

tk > t ,

то при пересчете оценки величины Rk на момент t ее надо умножить на соответствующий коэффициент дисконтирования. Формула для этого коэффициента та же, что и для прежнего коэффициента роста, т. е. . Однако показатель степени теперь отрицательный, так что коэффициент автоматически окажется менее 1. Величина Rk при умножении на такой коэффициент уменьшается.

Таким образом, независимо от того, как взаимно расположены моменты t и tk , при приведении члена потока Rk к моменту t его следует умножить на одно и то же выражение, равное .

В одной ситуации это приводит к увеличению Rk , в другой — к уменьшению. Во всех ситуациях это приводит к корректному пересчету величины Rk , к ее приведению на момент времени t.

Приведенная стоимость всего потока St , приведенная на момент времени t по сложной процентной ставке i, определяется суммой результатов приведения всех членов потока, т. е. формулой

Формула позволяет определить приведенную стоимость потока для любого момента времени t. В частности, если t — момент начала потока, то эта формула определяет современную стоимость потока. Если же t — момент окончания срока потока, формула определяет наращенную сумму потока.

4.1.4. Связь между результатами приведения к разным моментам времени

Рассмотрим, как изменяется величина приведенной стоимости при приведении к другому моменту.

Пусть t’ — другой момент приведения. Тогда при приведении к моменту t’ получим величину:

Величины St и St’ связаны соотношением

Рассмотрим отношение приведенных оценок:

Отсюда получаем, что при приведении к более позднему моменту величина приведенной стоимости окажется больше. Действительно, если

t’> t ,

откуда следует, что

St’ > St .

Отношение приведенных оценок St’ / St выражается величиной, не зависящей от конкретного потока. Она зависит лишь от разности (t — t’) моментов приведения и от выбранной для приведения процентной ставки i.

Это позволяет сравнивать различные потоки по их приведенной стоимости безотносительно к выбору конкретного момента приведения.

Действительно, пусть и — стоимости двух потоков при их приведении к моменту t, а и — стоимости тех же потоков при их приведении к моменту t’. Тогда отношения этих оценок равны:

Если приведенная стоимость одного потока оказалась в m раз больше приведенной стоимости другого при приведении обоих потоков к какому-то одному моменту времени, то это же соотношение между потоками сохранится и при приведении к любому другому моменту времени.

4.2. Характеристики постоянной финансовой ренты

4.2.1. Расчет характеристик постоянной ренты

Полученная выше формула приведенной стоимости потока пригодна для расчетов с любыми потоками. В некоторых важных частных случаях ее можно заметно упростить. Так, для наиболее распространенного вида потоков — постоянной финансовой ренты — мы получим существенно более простые расчетные формулы. Простые формулы можно получить и для переменных рент с несложной закономерностью изменения членов ренты.

Рассмотрим постоянную ренту, содержащую n членов одинаковой величины R (рис. 4.4). Интервал между членами ренты одинаков. Предположим, что он составляет 1 год (такая рента называется аннуитетом ). Пусть это рента постнумерандо.

Таким образом, перед нами последовательность из n одинаковых платежей размера R каждый. Общий срок ренты составляет n лет. Очередной платеж совершается в конце года. Первый платеж происходит в конце первого года, последний — в конце n-го года. Конец общего срока ренты совпадает с моментом последнего платежа.

Рис. 4.4. Постоянная финансовая рента

Определим наращенную конечную стоимость ренты S, т. е. стоимость ренты на конец ее срока (конечную стоимость обозначают иногда также посредством FV — Future Value ).

Приведение следует провести на момент окончания срока ренты. Рассмотрим поочередно члены ренты, от последнего к первому.

Последний, n-й член ренты при приведении сохраняется без изменения, поскольку момент приведения совпадает с моментом последнего платежа. В результате преобразования он сохраняет свою величину R.

Предпоследний, (n-1)-й член преобразуется в величину R(1 + i).

Предпредпоследний, (n-2)-й член преобразуется в .

Продолжая рассуждения, получим, что произвольный k-й член преобразуется в .

В частности, первый член преобразуется в .

Суммируя получившуюся n-членную геометрическую прогрессию с первым членом R и знаменателем (1+i), приходим к формуле

Это и есть формула конечной наращенной суммы постоянной n-членной ренты постнумерандо.

Обратимся к формуле начальной, современной стоимости ренты A, соответствующей приведению к начальному моменту срока ренты (такую величину обозначают также посредством PV — Present Value ). Эту формулу можно получить двумя способами.

Один — провести рассуждения, аналогичные данным выше для формулы наращенной суммы, но ориентированные на приведение к другому моменту времени. Другой — провести дисконтирование уже полученной величины наращенной суммы к начальному моменту срока ренты, т. е. воспользоваться равенством

Второй путь позволяет сразу написать итоговую формулу

По этим формулам можно провести расчет при любой положительной величине процентной ставки i. Они не работают только при i = 0, т. е. в случае, когда не учитывается рост вложенной денежной суммы. Однако в этом случае современная и будущая оценки фонда совпадают, и обе равны простой сумме членов ренты:

4.2.2. Вечная рента

В некоторых случаях ренту можно рассматривать как продолжающуюся неограниченно долго, т. е. имеющую неограниченное число членов. Такая ситуация возникает, когда заранее срок ренты не установлен. Например, регулярные выплаты по облигациям с неограниченным сроком действия.

Ренты с неограниченным сроком называются вечными рентами .

Определить наращенную сумму вечной ренты невозможно, т. к. такая сумма должна быть приведена к концу срока ренты. Однако можно определить современную стоимость вечной ренты. Для этого достаточно просуммировать бесконечную убывающую геометрическую прогрессию.

Если в полученной выше формуле для современной стоимости ренты со сроком n устремить n к бесконечности, то получим:

Таким образом, современная стоимость вечной ренты определяется простым правилом: современная стоимость равна отношению величины члена ренты к процентной ставке.

4.2.3. Связь параметров ренты

Отметим, что числитель в последней формуле отрицателен (подлогарифмическое выражение меньше 1), так что знак «минус» перед формулой возвращает положительное значение n.

В отличие от R и n расчет процентной ставки i не удается провести в виде вычисления по готовой формуле. Величину процентной ставки определяют одним из методов приближенных вычислений (например, методом линейной интерполяции — методом хорд или методом Ньютона — методом касательных).

4.2.4. Ренты пренумерандо и постнумерандо

Рента пренумерандо при приведении к концу срока отличается от ренты постнумерандо сдвигом на один период времени от конца назад. Поэтому все ее члены при приведении следует дополнительно умножить на одну и ту же величину (1 + i). В результате формула наращенной суммы ренты пренумерандо примет вид

Аналогично изменится и формула современной стоимости ренты:

Соответствующие изменения произойдут в формулах, определяющих величину постоянного члена и продолжительность для ренты пренумерандо:

Полученные формулы можно рассматривать как формулы для ренты постнумерандо, но с новой оценкой приведенной стоимости (оценкой S или A), уменьшенной в (1+ i) раз.

Формула для срока ренты n, выраженного через наращенную сумму S, имеет вид

Аналогичная формула для срока ренты n, выраженного через современную стоимость ренты A, имеет вид

Полученные формулы соответствуют формулам для ренты постнумерандо, но с новой величиной члена ренты R, увеличенной в (1+ i) раз.

В дальнейшем мы будем строить формулы для ренты постнумерандо, имея в виду, что они легко преобразуются в формулы для ренты пренумерандо.

4.3. Платежи и проценты

4.3.1. Учет особенностей начисления процентов

Рассмотрим ситуацию, когда проценты на члены ренты начисляются не один, а несколько раз за период поступления платежей.

Пусть на поступающие члены постоянной ежегодной ренты постнумерандо начисляются проценты m раз в году (например, ежеквартально). Рассмотрим два варианта перевода годовой ставки в квартальную.

1. Пусть перевод годовой ставки i в квартальную j происходит по формуле сложной процентной ставки, т. е. по формуле

В общем случае, при разделении года на m равных периодов, эта формула имеет вид

В таком случае ставка i и ставка j корректно согласованы друг с другом, и все расчетные формулы, связанные с рентой, остаются прежними.

2. Пусть перевод годовой ставки i в квартальную j происходит по формуле простой процентной ставки, т. е. по формуле

или, в случае разделения года на m периодов, по формуле

j = i/m.

В этой ситуации множитель роста вклада за год равен величине

При построении приведенной оценки ренты ее члены, как и в первоначальном случае, образуют геометрическую прогрессию, но с другим знаменателем — со знаменателем, равным множителю роста. Таким образом, для наращенной суммы получаем:

Для современной стоимости потока получаем формулу

4.3.2. Учет особенностей поступления платежей

Мы рассмотрели вариант, когда период начисления процентов меньше периода поступления платежей. Рассмотрим теперь противоположный случай, когда период поступления платежей меньше периода начисления процентов.

Пусть проценты начисляются ежегодно, а платежи поступают равными взносами, периодически, p раз в году (например, ежемесячно). Если годовая сумма платежей по-прежнему равна R, то отдельный платеж равен теперь величине R / p. Общее число членов ренты за n лет равно теперь nxp.

На каждый член ренты при определении наращенной суммы начисляются проценты за весь период времени, оставшийся до конца срока ренты.

Последовательность членов такой ренты с начисленными процентами опять является геометрической прогрессией. Первый член прогрессии (считая, как и раньше, от конца поступления платежей) равен R / p. Число членов равно np. Знаменатель прогрессии есть

Наращенная сумма S есть сумма членов этой прогрессии Она определяется формулой

Современная стоимость ренты определяется формулой

4.3.3. Учет особенностей начисления процентов и поступления платежей

Рассмотрим вариант ренты, когда и начисление процентов, и поступление платежей происходят несколько раз в году. Обычно в таких ситуациях оба события происходят с одинаковой периодичностью. Например, рентные платежи поступают ежемесячно, и начисление процентов происходит также ежемесячно.

Расчеты по такой ренте сводятся к расчетам по первоначальной формуле с заменой годового периода новым периодом (например, месячным). При этом число членов ренты кратно числу лет, а процентная ставка изменяется в соответствии с новым периодом.

Выводы

Финансовая рента — это последовательность платежей, возникающих через равные промежутки времени. Если размеры платежей финансовой ренты одинаковы, то рента называется постоянной финансовой рентой.

Различают ренты постнумерандо (платежи поступают в конце промежутков времени) и ренты пренумерандо (платежи поступают в начале промежутков времени).

Конечная стоимость ренты S и начальная стоимость ренты A определяются путем приведения всех платежей к конечному или начальному моменту времени по сложной процентной ставке. Итоговые формулы получаются на основе суммирования геометрической прогрессии. Для ренты постнумерандо формулы имеют вид

Формула начальной стоимости ренты применима и для вечной ренты, содержащей бесконечное множество платежей:

Вопросы для самопроверки

1. Определите понятие потока платежей.
2. Какую информацию следует указать, чтобы задать поток платежей?
3. Чем различаются регулярные и нерегулярные потоки платежей?
4. Какой поток платежей называется финансовой рентой?
5. Чем различаются постоянные и переменные финансовые ренты?
6. Что такое вечная рента?
7. Чем различаются ренты постнумерандо и пренумерандо?
8. Что такое приведенная стоимость потока платежей?
9. Как рассчитывается приведенная стоимость потока платежей?
10. Какова формула приведенной стоимости потока платежей?
11. Как изменяется результат расчета приведенной стоимости потока при изменении момента приведения?
12. Что можно сказать про отношение стоимости потоков при изменении момента приведения?
13. Какова формула конечной стоимости постоянной ренты?
14. Какова формула начальной стоимости постоянной ренты?
15. Как связаны друг с другом начальная и конечная стоимость ренты?
16. Какова формула начальной стоимости постоянной вечной ренты?
17. Какова формула члена постоянной ренты?
18. Какова формула срока постоянной ренты?
19. Как связаны друг с другом формулы для ренты постнумерандо и ренты пренумерандо?
20. Каковы формулы стоимости ренты при начислении процентов более частом, чем поступление платежей?
21. В чем особенности формулы стоимости ренты при начислении процентов по сложной ставке?
22. В чем особенности формулы стоимости ренты при начислении процентов по простой ставке?
23. Каковы формулы стоимости ренты при поступлении платежей более частом, чем начисление процентов?

Библиография

1. Бригхем Ю., Гапенски Л. Финансовый менеджмент: В 2 т. СПб., 1997.
2. Капитоненко В. В. Финансовая математика и ее приложения. М., 1998.
3. Кутуков В. Б. Основы финансовой и страховой математики. Методы расчета кредитных, инвестиционных, пенсионных и страховых схем. М., 1998.
4. Лукасевич И. Я. Анализ финансовых операций. Методы, модели, техника вычислений. М., 1998.
5. Малыхин В. И. Финансовая математика. М., 1999.
6. Уотшем Т. Дж., Паррамоу К. Количественные методы в финансах. М., 1999.

Аннотация

В большинстве современных коммерческих операций подразу­меваются не разовые платежи, а последовательность денежных поступлений (или, наоборот, выплат) в течение определенного периода. Это может быть серия доходов и расходов некоторого предприятия, выплата задолженностей, регулярные или нерегу­лярные взносы для создания разного рода фондов и т. д. Такая последовательность называется потоком платежей.

Поток. однонаправленных платежей с равными интервалами между последовательными платежами в течение определенного количества лет называется аннуитетом (финансовой рентой).

Теория аннуитетов является важнейшей частью финансовой математики. Она применяется при рассмотрении вопросов доход­ности ценных бумаг, в инвестиционном анализе и т. д. Наиболее распространенные примеры аннуитета: регулярные взносы в пен­сионный фонд, погашение долгосрочного кредита, выплата про­центов по ценным бумагам.

Аннуитеты различаются между собой следующими основными характеристиками:

• величиной каждого отдельного платежа;
• интервалом времени между двумя последовательными плате­жами (периодом аннуитета);
• сроком от начала аннуитета до конца его последнего периода (бывают и неограниченные по времени - вечные аннуитеты);
• процентной ставкой, применяемой при наращении или дис-контировании платежей.

Аннуитет, для которого платежи осуществляются в начале со­ответствующих интервалов, носит название аннуитета пренуме-рандо; если же платежи осуществляются в конце интервалов, мы получаем аннуитет постнумерандо (обыкновенный аннуитет) -по­жалуй, самый распространенный случай.

Наибольший интерес с практической точки зрения представля­ют аннуитеты, в которых все платежи равны между собой (посто­янные аннуитеты), либо изменяются в соответствии с некоторой закономерностью. Именно такие аннуитеты мы и изучим в даль­нейшем.

Введем следующие обозначения:

Р - величина каждого отдельного платежа;

ic -сложная процентная ставка, по которой начисляются проценты;

Sk -наращенная сумма для k-го платежа аннуитета постну­мерандо;

S- наращенная (будущая) сумма всего аннуитета постнуме­рандо (т. е. сумма всех платежей с процентами);

Ak -современная величина k-го платежа аннуитета постну­мерандо;

А - современная величина всего аннуитета постнумерандо (т. е. сумма современных величин всех платежей);

Sп - наращенная сумма аннуитета пренумерандо;

Aп -современная величина аннуитета пренумерандо;

n - число платежей.

Рассмотрим аннуитет постнумерандо с ежегодными платежами Р в течение п лет, на которые начисляются проценты по сложной годовой ставке i c (рис. 5).

Рис. 5.

Сумма S 1 для первого платежа, проценты на который будут на­числяться, очевидно, (n - 1) раз, составит по формуле (3.1):

S 1 = Р(1 + i c) n-1

Для второго платежа (проценты на него будут начисляться на один год меньше) имеем

Sn=P Тогда для общей наращенной суммы имеем

• (7.1)

где ki,n- коэффициент наращения аннуитета с параметрами i, n - представляет собой, как можно заметить, сумму членов гео­метрической прогрессии, для которой первый член a 1 равен 1, а знаменатель (назовем его q)составляет (1 + i c).

Используя математическую формулу для суммы членов геомет­рической прогрессии:

запишем выражение (7.1) в более удобном для вычислений виде:

Для коэффициента наращения, соответственно, имеем

Найдем теперь современную величину А данного аннуитета (рис. 6).

Рис. 6.

При заданной процентной ставке ic современное значение каж­дого платежа будет определяться по формуле:

Современная величина всего аннуитета, следовательно, соста­вит

где ai,n - коэффициент приведения аннуитета, опять является суммой геометрической прогрессии, теперь уже с параметрами а 1 =q=1/(1 +i c).

Тогда для ai,n получаем выражение:

для современной величины А соответственно

Как видим, современная величина и наращенная сумма анну­итета связаны между собой соотношением:

S=A(1+i c) n (7.6)

Из полученных формул путем преобразований легко получить еще несколько формул.

Так, для определения размера очередного платежа (Р) имеем

Для определения срока аннуитета (п), при прочих заданных условиях, получаем

Для конкретных вычислений выбирается одна из двух формул каждой пары в зависимости от заданных известных величин.

Очевидно, отличие от предыдущего случая состоит здесь в том, что период начисления процентов на каждый платеж увеличива-

Рис. 7. Будущая стоимость аннуитета пренумерандо

ется на один год, т. е. каждая наращенная сумма Skувеличивается в (1 + ic)раз. Следовательно, для всей суммы Sпимеем

Для коэффициента наращения аннуитета пренумерандо k п i,n по­лучаем следующее соотношение:

Можно также заметить, что для определения современных зна­чений каждого платежа дисконтирование по заданной ставке ic проводится на один раз меньше, чем в случае аннуитета пренуме­рандо. Поэтому каждая современная величина Аkбудет больше в (1 +0 раз. Таким образом,

А для коэффициента приведения а п i,n получаем

a п i,n =a i,n (1+i c) (7.14)

Для нахождения размера платежа и срока аннуитета пренуме­рандо можно по формулам (7.11) и (7.13) найти для заданных зна­чений Sпи Aп соответствующие значения Sи А и пользоваться далее формулами, выведенными для аннуитета постнумерандо.

Для определения коэффициентов наращения и приведения обыкновенного аннуитета существуют таблицы, которыми удобно пользоваться в практических

вычислениях. Максимальные процентные ставки в таких таблицах обычно не превышают 30-40%, что значительно ниже размера процентных ставок, применяемых в России в настоящее время. Но нужно иметь в виду, что п в данном случае - не число лет, а число периодов одинаковой про­должительности (день, месяц, квартал и т. д.), в которых принята данная процентная ставка. Таким образом, если задана годовая процентная ставка, можно найти эквива­лентную ей ставку на более коротком интервале и рассмат­ривать далее п как число таких интервалов.

Если срок аннуитета n не ограничен, мы получаем случай веч­ного аннуитета. Для аннуитета постнумерандо выражения для на­ращенной суммы и современной величины приобретут следую­щий вид:

Для аннуитета пренумерандо, соответственно, получаем

Таким образом, различие между двумя типами вечных аннуи­тетов, естественно, сказывается на определении их современной величины.

Не менее важен случай, когда последовательность платежей из­меняется по некоторому закону, и, следовательно, также может быть описана с помощью математических средств.

Рассмотрим обыкновенный аннуитет, в котором платежи по­стоянно увеличиваются на определенную положительную величи­ну h,т. е. являются членами арифметической прогрессии с пер­вым членом a1 = Р и разностью h. Т. е. платежи представляют собой ряд:

Р, Р+ h, Р+ 2h,... Р+ (п- 1)h.

Для наращенной суммы всего аннуитета получаем следующее выражение:

S=Р(1+ i c) n-1 + (Р+ h)(1+ ic) n-2 + (р+ 2h)(1+ ci) n-3 +...+ [Р+ (n -1)h].

Умножим обе части данного равенства на (1 + ic) вычтем первое выражение из полученного после умножения:

S ic= P(1+ ic)n -[Р+(п -1)h]+h(1+ ic)n-1+ h(1+ ic)n-2+...+ h(1+ ic).

Видно, что часть полученного равенства представляет собои сумму членов геометрической прогрессии, где a1= h{1+ ic); q = = (1 + ic). После несложных преобразований получаем:

Найдем теперь современное значение аннуитета А.

Умножим обе части равенства на (1 + i c) n .

A(1+i c) n =P(l+i c) n-1 +(P+ h)(1+i c) n-2 + ... + =S.

Как видим, в данном случае верна формула (7.6), полученная ранее для обыкновенного аннуитета:

А (1 + i с) n - S,

Возможен также случай, когда платежи постоянно возрастают в q раз, т. е. являются членами геометрической прогрессии:

Р, Pq, Pq 2 , ... , Pq n-1 , Тогда для наращенной суммы аннуитета имеем

S=Р[(1+ i c) n-1 + q(1+ i c) n-2 +/(1+ i c) n-3 +...+q n-1 ].

В квадратных скобках мы получили геометрическую прогрес­сию с первым членом а1 =(1 + ic)nи знаменателем q/(1 + ic). Ис­пользуя опять формулу для суммы геометрической прогрессии, получаем выражение для S:

S=P/.

Очевидно, чтобы найти современное значение аннуитета А, здесь также можно применить формулу (7.6):

A=P/.

Теперь мы имеем возможность решить пример по определению потока платежей произвольной величины.

Найти современную величину потока платежей, определяемого следующим образом: первый год - поступления 500 ам. долл., второй год - поступления 200 ам. долл., третий год - выплата 400 ам. долл., далее в течение семи лет - доход по 500 ам. долл. Став­ка дисконтирования - 6% годовых. Решение

В данном примере поток платежей в течение последних семи лет представляет собой постоянный аннуитет. По формуле (7.5) мы можем рассчитать его современную величину aq. Нельзя за­бывать, что это будет современная величина на момент начала четвертого периода:

500 5,58 = 2791 (ам. долл.)

(коэффициенты приведения находим по таблице 4 Приложе­ния 2). Далее, используя формулу (3.11), находим современные значения на момент начала потока платежа для всех оставшихся платежей и величины aq:

А1 = 500 0,953 = 471,5 (ам. долл.);

A2 =200 0,89 = 178 (ам. долл.);

А3 = 400 0,840 =336 (ам. долл.);

А4=2791 0,840 = 2344,44 (ам. долл.).

Складывая получившиеся величины, находим современную ве­личину всего потока платежей:

A =A1 +А2+ А3+ А4= 2657,94 ам. долл.

Современная величина аннуитета

Во всех случаях, когда в произвольном потоке пла­тежей встречаются серии, которые могут быть опи­саны как постоянные или изменяющиеся по некоторому за-

кону аннуитеты, следует обращать внимание на начальный момент и срок этих аннуитетов, не совпадающие с началь­ным моментом и сроком полного потока платежей.

Следующий этап нашего изучения -конверсия аннуитетов. Под конверсией аннуитета понимается такое изменение на­чальных параметров аннуитета, после которого новый аннуитет был бы эквивалентен данному.

Два аннуитета считаются эквивалентными, если равны их со­временные величины, приведенные к одному и тому же моменту времени.

На практике необходимость рассчитать параметры эквивалент­ного аннуитета чаще всего возникает при изменении условий вы­платы долга, погашения кредита или займа и т. п. При этом кон­версия может произойти как в момент начёта аннуитета (на этот момент и рассчитываются современные величины эквивалентных аннуитетов), так и после выплаты некоторой части аннуитета. В последнем случае все расчеты производятся на остаток долга в момент конверсии.

Рассмотрим наиболее распространенные случаи конверсии по­стоянных аннуитетов.

1. Через некоторый промежуток времени n0 (он может быть равен и 0)после начала аннуитета весь остаток долга может быть выплачен за один раз (выкуп аннуитета). Очевидно, что в этом случае величина выплачиваемой суммы будет равна современной величине остатка аннуитета, рассчитанной для срока n1 = n- n0.

• 2. Может возникнуть задача, обратная предыдущей: задолжен­ность погашается частями, в виде выплаты постоянного аннуите­та, и требуется определить один из параметров аннуитета при за­данных остальных. Поскольку здесь известна сумма долга, т. е. современная величина аннуитета, для нахождения неизвестного параметра используем формулы (7.8)или (7.10).
• 3. Период выплаты долга может быть изменен при сохранении прежней процентной ставки. Величину Р1 платежа для срока n1 находим, используя уравнения эквивалентности (приравниваются современные значения аннуитетов):

Очевидно, что. если срок аннуитета увеличится, значение Р со­кратится. и наоборот.

4. Может возникнуть ситуация, когда величина платежа P дол­жна быть изменена в ту или другую сторону. Рассмотрим данный случай на примере 28.

Для погашения кредита, выданного под сложную процентную ставку 4%годовых, в течение 10лет должны вноситься ежегодные платежи в размере 5 000ам. долл. Изменившиеся условия дают возможность с самого начала вносить по 7 500ам. долл. Опреде­лить новый срок n1, за который долг будет полностью выплачен. Решение

Рассчитаем сначала современную величину имеющегося анну­итета (которая и представляет собой величину долга на начальный период). По формуле (7.5)получаем

А= 5 000 /0,04 - 40554,5(ам. долл.). Далее для изменившегося Р найдем коэффициент приведения аннуитета по той же формуле:

аi,n =А/Р 1 = 40554,5ам. долл./ 7500ам. долл. = 5,4.

Используя таблицу 4Приложения 2найдем значение n 1 , более всего подходящее данному коэффициенту при процентной ставке4%, округляя его в меньшую сторону: n 1 = 6. Поскольку значениеn1найдено приближенно, необходимо рассчитать современное значение нового аннуитета:

А1 = 7 500 /0,04 = 39 316(ам. долл.). Если величины платежей изменяться не могут, недостающая сумма A0 = 40 554,5 - 39316 = 1238,5(ам. долл.) должна быть выплачена кредитору сразу. (Пример, когда в такой ситуации кор­ректируются величины платежей, рассматривается в конце этого раздела).

5. Начало выплаты задолженности при заданной процентной

ставке ic может быть отсрочено: а) при сохранении размера платежа; б) при сохранении срока выплаты.

Очевидно, что в первом случае должен увеличиться срок анну­итета, а во втором -величина платежа.

Обозначим через n 0 период отсрочки. Тогда на момент начала выплаты, сумма долга а1, которая должна являться современной величиной нового аннуитета, составит по формуле сложного про­цента:

A1=A(1+ic) n0 . Отсюда получаем уравнение эквивалентности:

Р = P (1 + i c) n0

Далее поступаем аналогично рассмотренным ранее случаям. В первом варианте находим значение n1 продолжительности нового аннуитета при заданном значении Р1 = Р (n1 будет найдено при­ближенно, поэтому потребуется выплата компенсирующей сум­мы, см. пример 28). Во втором - величину платежа Р1 при n 1 = = n – n 0 .

6. В некоторых случаях может потребоваться объединение не­скольких аннуитетов в один (консолидация аннуитетов). При этом объединяемые аннуитеты могут быть любыми, а в искомом объединяющем аннуитете один из параметров неизвестен при всех остальных заданных.

Два аннуитета с параметрами:

• 1) величина платежа - 2 000 ам. долл., процентная ставка - 5% годовых, срок - 12 лет;
• 2) величина платежа - 3 500 ам. долл., процентная ставка - 6% годовых, срок - 10 лет;

требуется заменить одним - со сроком 10 лет и процентной став­кой 6% годовых.

Определить величину нового платежа.

Найдем сначала общую современную величину двух аннуите­тов. По формуле (7.5) имеем

А = A1 +A2=2000/0,05+ + 3 500 /0,06 = = 17 726,5 + 25 760,3 = 43 486,8 (ам. долл.). Далее по формуле (7.7) находим величину нового платежа:

Р = 43 486,8 0,06/ = 5 930 (ам. долл.).

Нам остается теперь рассмотреть важное практическое прило­жение теории аннуитетов - составление различных вариантов (планов) погашения задолженности. При составлении плана по-

гашения интерес представляют размеры периодических платежей заемщика - выплаты процентов и выплаты по погашению основ­ной суммы долга - при различных условиях погашения (такие платежи носят название срочных уплат).

Основных вариантов погашения задолженности - пять:

• 1. Займы без обязательного погашения, по которым постоянно выплачиваются проценты. Задача в данном случае заключается в нахождении размера выплачиваемой суммы Р при заданной про­центной ставке /. Мы имеем здесь случай вечного аннуитета. Раз­мер платежа определяется по формуле (7.15), из которой получаем P=Ai c .
• 2. Погашение долга в один срок

Если заемщик должен вернуть всю сумму долга в конце срока, целесообразным бывает создание погасительного (амортизацион­ного) фонда, для чего периодически вносятся определенные сум­мы, на которые начисляются проценты.

Если процентная ставка, под которую вносятся средства, не превышает размеров ставки, под ко­торую выдается заем, создание погасительного фонда не имеет смысла. Выгоднее сразу расплачиваться этими сум­мами с кредитором.

Введем обозначения:

D- основная сумма долга (без процентов);

i c -ставка процента по займу;

I - процент по займу;

Р - размер взноса в погасительный фонд;

g -ставка, по которой начисляются проценты на взносы в фонд;

У - величина срочной уплаты;

n -срок займа.

Найдем величину срочной уплаты У и ее составляющих (К=1+Р).

По определению I = D i c .

Сумма, накопленная в погасительном фонде за n лет, т. е. на­ращенная сумма аннуитета с параметрами Р, п, g, должна соста­вить величину D. По формуле (7.2) получаем

D = Р[(1 +g)n-1]/g. Отсюда

P=Dg/[(1 +g)n-1].

Значит, в данном случае величина срочной уплаты определяет­ся формулой:

Y=Di c + Dg/[(1+ g) n -1]. (7.23)

Если проценты не выплачиваются, а присоединяются к основ­ной сумме долга, то срочная уплата будет состоять только из взно­сов в погасительный фонд.

Общая сумма долга составит по формуле (3.1) величину D(1 + ic)n, откуда получаем

Y= Р= D(1 +i c) n g/[(1+g) n -1].

3. Погашение долга равными суммами

Пусть долг погашается в течение n лет равными суммами, а проценты периодически выплачиваются. Тогда на погашение по­стоянно идут платежи размером D/n, а процентные выплаты еже­годно сокращаются, так как уменьшается основная сумма долга. Обозначим

Dk- сумма долга после k-го года:

Ik - процентная выплата за k-й год. Тогда

D1= D- D/n = D(1 -1/n);

На конец второго года получаем D2= D1- D/n= D(1 -2/);

I2= D(1- 1/n)ic;

Y2 = D(1 -1/n) ic+ D/n,и т. д.

Для определения размера срочной уплаты и процентного пла­тежа после k-го года получаем Dk= D(1- k/n);

Ik= D(1 -(k-1)/n] ic:

Yk= D ic+ D/n.

На конец срока, т. е. n-го года имеем

Dn= D(1- n/n) = 0:

Yn= D |1 – (n -1)/n] ic+ D/n = D (1 + ic)/n. Видно, что самые большие суммы приходится платить в начале периода погашения, что может в большинстве случаев расцени­ваться как недостаток этого метода погашения задолженности.

4. Погашение долга с использованием постоянных срочных уплат

Пусть займ величиной D, выданный пол сложную годовую про­центную ставку ic, погашается в течение /; лет равными срочными уплатами Y= 1 + Р. Понятно, что со временем составляющая I

• (проценты по займу) будет уменьшаться, так как уменьшается ос­новная сумма задолженности. Соответственно, составляющая Р (сумма, идущая на погашение займа) будет увеличиваться.

Выведем формулы для расчета суммы процентных денег и сум­мы на погашение долга на конец k-го года.

Периодическая выплата постоянной суммы Y при заданной процентной ставке ic в течение п лет является аннуитетом с соот­ветствующими параметрами.

Поэтому величина срочной уплаты определяется по формуле (7.9):

Y= D/a i,n (a i,n - коэффициент приведения ренты).

Обозначив через Рk сумму, идущую на погашение займа в кон­це k-го года, запишем следующие соотношения:

• 1)I k +P k =I k+1 +P k+1 ;
• 2) D k = D k-1 - P k ;
• 3) I k = D k-1 i с. откуда D k-1 = Ik/ic;
• 4) Ik+1= Dkic, откуда Dk =Ik+1/ic

Подставляя выражения 3) и 4) в соотношение 2), получим

Ik+1/ic=Ik/i c -рk, откудаi k+1 =Ik-P k i c Перепишем выражение 1), используя последнее равенство:

Ik+ Pk= Ik- Pkic+ Pk+1

откуда получаем

Pk+1=Pk(1+ic)=P1(1+ic) k

Так как I 1 = Di c для Р, получаем

P1=D/a i,n -Di c =D (l/a i,n -ic). Следовательно,

Pk=D(1/a i,n -ic)(1+ic) k-1

Ik=D k-1 ic =Dic/с - D (1/a i,n -ic)[(1 + i c) k-1 ].

Когда займ погашается постоянными срочными уплатами, их величина может быть заранее задана, и тогда возникает задача определения периода погашения долга п. Вопрос определения срока аннуитета рассматривался ранее в связи с конверсией анну-

итетов. При этом для выполнения принципа эквивалентности не­обходимо было доплатить недостающую сумму (возникающую в результате округления полученного п) в начале периода погаше­ния. Вместо этого возможно также небольшое изменение размера срочных уплат.

Рассмотрим для прояснения ситуации пример.

Займ в размере 12000 ам. долл. выдан под сложную процент­ную ставку 4% годовых. Определить продолжительность периода погашения, если заемщик собирается выплачивать ежегодно по 1 500 ам. долл. Составить график погашения долга.

Рассчитаем сначала коэффициент приведения аннуитета ад д:

a 4,n = A/Р = 12 000 ам. долл./l 500 ам. долл. = 8.

По таблице определим приблизительно п, соответствующее данному коэффициенту и процентной ставке 4%. Так как nп = 10 соответствует коэффициент а 4,10 =8,11, возьмемnп = 9 и рассчи­таем для этого срока и современной величины А = 12 000 ам. долл. новое значение платежа Р. Используем для этого формулу (7.8), находя значение коэффициента приведения по таблице 4 Прило­жения 2.

Р = А/а 4,9 = 12 000 ам. долл./7 ,435 = 1 614 ам. долл.

Составим теперь график погашения долга, в который должны входить процентные выплаты, расходы по погашению долга, ос­таток долга на конец каждого года.

Используя выведенные ранее формулы, находим искомые зна­чения:

	Сумма долга на конец года	Срочная уплата (Y)	Проценты (I/)	Выплата на погашение (Р)

Небольшое расхождение в остатке долга на конец 8-го года и сумме последней выплаты на погашение происходит из-за округ­ления некоторых значений предыдущих сумм.

5. Погашение долга с использованием переменных срочных уплат

Во многих случаях предпочтительнее оказывается погашение долга с использованием переменных срочных уплат. Срочные уп­латы могут изменяться в соответствии с некоторой закономернос­тью или задаваться графиком погашения.

Рассмотрим случай, когда последовательность срочных уплат представляет собой арифметическую профессию с заданной раз­ницей h. При сроке погашения п и процентной ставке ic, исполь­зуя формулу (7.20), находим величину срочной уплаты Р:

Р = [А i c +nпh/(1 +ic) n - h а i,n ]/ исходя из которой разрабатывается план погашения долга.

6. На практике часто встречается случай, когда заранее задают­ся размеры всех срочных уплат, кроме последней, определяемой величиной остатка долга на начало последнего периода (см. при­мер 31).

Долг в размере 10 000 ам. долл. требуется погасить за пять лет, размеры срочных уплат в первые четыре года - 2 000 ам. долл., 2 000 ам. долл., 4 000 ам. долл., 1 500 ам. долл. Найти величину последней уплаты, если процентная ставка составляет 5% годо­вых.

Разработаем план погашения долга.

Проценты за первый год составляют

I1 = Dic=10 000 0,05 = 500 (ам. долл.).

Р1 = Y1 - I1 = 1 500 ам. долл.;

D1= D-P1 = 8 000 ам. долл.

Для последующих лет получаем

I2 = D 1 i с = 8500 ам. долл. 0,05 = 425 ам. долл.;

Р 2 = Y 2 -I 2 = 2 000 - 425= 1 575 (ам. долл.):

D 2 = D 1 -P 2 =8 500 - 1 575 = 6 925 (ам. долл.);

I 3 =D 2 ic=6925 ам. долл. * 0,05=346,25, ам. долл.;

Р 3 = Yз -Iз = 4 000 - 346,25 = 3 653,75 (ам. долл.);

D 3 = D 2 -Рз = 6 925 - 3 653.75 = 3 271,25 (ам. долл.);

I 4 =D 3 ic= 3 271,25 ам. долл. 0,05 = 163,56 ам. долл.;

P 4 =Y 4 -I 4 = 1500 - 163,56 = 1 336,44 (ам. долл.):

D 4 =D 3 -P 4 =3 271,25 - 1 336,44 = 1 934,81 (ам. долл.);

I 5 =D 4 ic = 1 934,81 ам. долл. 0,05 = 96,74 ам. долл.;

Y 5 =D 4 +I 5 =1934,81=96,74=2031,55 (ам. долл.); P4= D4= 1 934,81 ам. долл.

Итак, величина последней уплаты должна составить 2031,55 ам. долл.

Наиболее часто в финансовых расчетах используются следующие по условиям формирования ренты:

1 й случай: Платежи осуществляются один раз в год, проценты начисляются один раз в конце года, тогда наращенная сумма определяется

S=R*K n; i, (4.1)

где S – наращенная сумма ренты,

R – размер члена ренты (разового постоянного платежа),

K n; i - коэффициент наращения с параметрами «n» (срок ренты) и «i» (ставка сложных процентов), является суммой геометрической прогрессии – первый член геометрической прогрессии a =1, а знаменатель геометрической прогрессии g =(1+i), тогда K n; i = (1+i) n -1/i, а

2 й случай: Годовая рента с начислением процентов «m» раз в году по номинальной ставке «j»

или
(4.3)

3 й случай: Рента р-срочная, проценты начисляются один раз в конце года (m=1)

или
(4.4)

4 й случай: Рента р-срочная, начисление процентов «m» раз в год (m=р)

5 й случай: Рента р-срочная, (р≈m)

(4.6)

Современные величины ренты в зависимости от условий формирования определяются по формулам (аналогично перечисленным выше условиям).

или
(4.7)

- коэффициент приведения ренты рассматриваемый, как сумма геометрической прогрессии с параметрами

или
(4.8)

3 й случай: Рента р-срочная с начислением процентов один раз в год (m=1)

или
(4.9)

4 й случай: Рента р-срочная (р=m)

или
(4.10)

5 й общий случай: Рента р-срочная (р≈m)

или
(4.11)

Некоторые коэффициенты наращения и приведения табулированы и представлены в виде таблиц.

При необходимости определения членов ренты или срока ренты, их можно получить преобразованием формул наращения и дисконтирования относительно интересующих нас величин.

4.3 Рента пренумерандо

В этой ренте платежи производятся в начале каждого периода начисления, то есть количество платежей будет на один больше, чем в ренте постнумерандо.

1 й случай: Годовая рента с начислением процентов 1 раз в год

или
(4.16)

2 й случай: Годовая рента с начислением процентов «m» раз в году

или
(4.17)

3 й случай: Рента р-срочная с начислением процентов один раз в год

или
(4.18)

4 й случай: Р-срочная рента с начислением процентов «m» - раз

или
(4.19)

4.4 Бессрочный аннуитет

Аннуитет называется бессрочным, если денежные поступления продолжаются длительное время (50 и более лет). В этом случае прямая задача смысла не имеет, что касается обратной задачи, то ее решение делается так же по формуле 4.7.

Поскольку
,то
(4.20)

Приведенная формула используется для оценки целесообразности приобретения аннуитета.

4.5 Переменные потоки платежей

Встречаются потоки платежей, члены которых изменяются во времени. Эти последовательности платежей можно представить в виде переменных потоков платежей.

Частный случай такого потока – переменная рента, то есть рента, члены которой изменяются в соответствии с каким либо заданным законом развития.

Если такой закон не задан, то соответствующая последовательность представляет собой нерегулярный поток платежей.

4.6 Нерегулярный поток платежей

Временные интервалы между двумя соседними членами в нерегулярном потоке платежей могут быть любыми. Обобщающие характеристики получают методом прямого счета.

Наращенная сумма (начисление процентов 1 раза в год)

S =
(4.21)

Современная величина

А =
(4.22)

где t = время от начала потока платежей до момента выплаты

R t – размер платежа (член ренты)

4.7 Конверсия аннутентов

Под конверсией аннутента понимается такое изменение начальных параметров аннутента, после которого новый аннутент был бы эквивалентен данному.

Два аннутента считаются эквивалентными, если равны их современные величины, проведенные к одному и тому же моменту времени.

На практике необходимость рассчитать параметры эквивалентного аннутента чаще всего возникает при изменений условий выплаты долга, погашение кредита или займа и т.п. При этом конверсия может произойти в момент начала аннутента, так и после выплаты некоторой части аннутента. В последнем случае все расчеты производятся на остаток долга в момент конверсии.

Наиболее распространенные случае конверсии постоянных аннутентов:

1) Через некоторый промежуток времени (он может быть равен и «0») после начала аннутента весь остаток долга может быть выплачен за один раз (выкуп ренты). Очевидно, что в том случае величина выплачиваемой суммы будет равна современной величине остатка аннутента, рассчитанной для срока n 2 = n 1 – n 0 (Согласовываются процентные ставки. Выбирается определения современной величины).

2) Может возникнуть задача, обратная предыдущей: задолженность погашается частями, в виде выплаты постоянного аннутента, и требуется определить один из параметров аннутента при заданных остальных. Поскольку здесь известна сумма долга, то есть современная величина аннутента, то для нахождения неизвестного параметра используются формулы:

(4.23)

(4.24)

3) Период выплаты долга может быть изменен при сокращении прежней процентной ставки. Величину R 2 платежа для срока n 2 находим, используя уравнения эквивалента (приравниваются современные значения аннутента):

(4.25)

Отсюда
(4.26)

Очевидно, что если срок аннутента увеличивается, значение R 2 сократится и наоборот.

4) Может возникнуть ситуация, когда величина платежа R должна быть изменена в ту и другую сторону.

5) Начало выплаты задолженности при заданной процентной ставке может быть отсрочено:

а) при сокращении размера платежа;

б) при сокращении срока выплаты;

Очевидно, что в первом случае должен увеличиться срок аннутента, а во втором – величина платежа.

Если обозначить через n 0 период отсроки, тогда на момент начала выплаты, сумма долга А 2 , которая должна являться современной величиной нового аннутента, составит по формуле сложного процента

(4.27)

Отсюда получаем уравнение эквивалентности:

Находим n 1 при R 1 = R 2

Величину платежа R 2 при n 2 = n 1 – n 0

6) В некоторых случаях может потребоваться объединение нескольких аннутентов в один (консолидация аннутентов).

При этом объединяемые аннутенты могут быть любыми, а в искомом объединяющем аннуитете один из параметр неизвестен при всех остальных заданных.

(4.29)

А – современная стоимость заменяющий ренты

Аq – современная стоимость q –й заменяемой ренты